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 Cinématique

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MessageSujet: Cinématique   Cinématique Icon_minitimeLun 12 Jan - 21:50

en débute doucement avec une petite définition sur ce qui concerne cette étude ainsi que ces bases alors En physique, la cinématique est la discipline de la
mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes
du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des
moments).
Elle utilise la géométrie analytique.

On peut dater la naissance de la cinématique moderne à l'allocution
de Pierre Varignon le 20 janvier 1700 devant l'académie royale des sciences de
Paris.
À cette occasion il définit la notion d'accélération et montre
comment il est possible de la déduire de la vitesse instantanée à l'aide d'une
simple procédure de calcul différentiel.

2.1 Bases repères et référentiels

2.2 Cinématique du point et du solide

2.2.1 Position d’un point
2.2.2 Vitesse d’un point
2.2.3 Accélération d’un point
2.2.4 Coordonnées intrinsèques. Composantes de Frenet
2.2.5 Etude de mouvements
2.2.6 Quantités, résultantes et moments


Dernière édition par monster le Lun 12 Jan - 21:59, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Cinématique   Cinématique Icon_minitimeLun 12 Jan - 21:57

2 Mécanique du point et du solide

2.1 Bases repères et référentiels

Base :
Dans un espace à trois dimensions, on appelle base vectorielle
un ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants :

Cinématique Image001

Cinématique Image002 sont non coplanaires
Repères d’espace :
L’ensemble constitué d’un point O de l’espace et de 3 vecteurs
de base forme un repère d’espace.

Repère direct :
Le produit vectoriel étant anticommutatifCinématique Image003, il est nécessaire de définir
une « norme ». Le sens direct est obtenu avec la règle de la main
droite.

Repère de Copernic :
L’origine correspond au centre de masse du système solaire et les
axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.

Repère géocentrique :
L’origine correspond au centre de masse de la terre et les axes
sont dirigés vers trois étoiles fixes.

Coordonnées :
Pour définir la position de tout point dans un repère, on constate
expérimentalement, qu’il est nécessaire et suffisant de prendre trois réels
appelés coordonnées.

Repère de temps
Il est constitué d’un instant d’origine et d’une échelle de temps

Référentiel
L’ensemble constitué d’un repère d’espace et d’un repère de temps
est appelé référentiel.

Référentiel galiléen :
C’est un référentiel dans lequel l’espace est homogène et isotrope
et le temps uniforme.

2.2 Cinématique du point et du solide

La cinématique est l’étude des mouvements indépendamment
des causes qui les produisent.

2.2.1 Position d’un point.

Un point M dans un repère R est caractérisé par son vecteur position :
Cinématique Image004

Cinématique Image005
En coordonnées cartésiennes on note :

Cinématique Image006Cinématique Image007 ou Cinématique Image008
où indique que les coordonnées du vecteur sont celles qu’il a dans la base
cartésienne.
La trajectoire étant l’ensemble des positions occupées par le
point M.

L’équation de la trajectoire du point M est la relation liant
les coordonnées indépendamment du temps.

En coordonnées cartésiennes on notera Cinématique Image009
On appelle équation horaire l’expression des coordonnées du point
en fonction du temps :

Cinématique Image010
Si le mouvement est plan, on choisit le repère de telle sorte que deux
coordonnées suffisent. Généralement on conserve les coordonnées x et y.

Cinématique Image011
Si le mouvement est rectiligne, on choisit le repère de telle sorte
qu’une seule coordonnée suffise. Généralement on conserve la coordonnée x.

Cinématique Image012
Lorsque la trajectoire est telle que les expressions et calculs des position,
vitesse et accélération sont plus simples en coordonnées cylindriques
alors on les exprime dans cette base mobile.

Cinématique Image013
La base cylindrique étant une base mobile dont l’orientation des vecteurs dépend
de la position du point M dans sa trajectoire il n’est pas étonnant de voir
que deux coordonnées seulement suffisent à exprimer la position :

Cinématique Image014 ou Cinématique Image015
2.2.2 Vitesse d’un point

La vitesse moyenne d’un point est obtenue en calculant le rapport de
la distance parcourue par la durée du parcours :

Cinématique Image016
Lorsque l’on veut obtenir le vecteur vitesse moyenne entre deux points M1(t1)
et M2(t2)on exprime :

Cinématique Image017
Si l’on veut exprimer le vecteur vitesse instantanée en un point M de
la trajectoire il faut faire le calcul :

Cinématique Image018
Le vecteur exprimé est celui de la vitesse du point M dans son mouvement par
rapport au référentiel R. La dérivée du vecteur position se faisant par rapport
à ce référentiel.
L’expression du vecteur vitesse dans son mouvement par rapport au référentiel
R peut être exprimé dans toute autre base.
En coordonnées cartésiennes (base fixe) le mouvement du point
M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
Cinématique Image019 ou Cinématique Image020
En coordonnées cylindriques (base mobile) le mouvement du point
M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
Cinématique Image021 ou Cinématique Image022
démonstration :

Cinématique Image023

Cinématique Image024

Cinématique Image025

On a vu que : Cinématique Image026 donc on peut simplifier

Cinématique Image027et

Cinématique Image028 car
Cinématique Image029est un
vecteur fixe

soit Cinématique Image021

On notera les points suivants :
● L’unité légale de la vitesse est le mètre par seconde m.s-1
● Le vecteur vitesse en un point est confondu à la tangente
à la trajectoire en ce point.
● Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement.
● Comme pour tout vecteur la norme de la vitesse correspond
à la racine carrée de la somme du carré des composantes de ce vecteur.

Cinématique Image030
● Il ne faut pas confondre d’une part le référentiel par
rapport auquel on étudie le mouvement avec d’autre part la base que l’on choisit
pour exprimer le plus facilement les vecteurs position, vitesse ou accélération.
● Dans le cas d’un mouvement de rotation d’axe Oz, on définit
le vecteur Cinématique Image031. Al’aide des coordonnées cylindriques
exprimons le produit vectoriel Cinématique Image032. On a Cinématique Image033Cinématique Image034donc Cinématique Image035
soit la relation générale : Cinématique Image036
● Le mouvement d’un point M par rapport à un référentiel
R1 de centre O1 et par rapport à un référentiel R2 de centre O2
vérifie la loi de composition des vitesses:

Cinématique Image037 Cinématique Image038

Cinématique Image039
Cinématique Image040 désigne le vecteur vitesse de rotation
du repère R2 par rapport à R1
Cinématique Image041
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MessageSujet: Re: Cinématique   Cinématique Icon_minitimeLun 12 Jan - 22:02

2.2.3 Accélération d’un point

De même que pour la vitesse on peut définir les vecteurs accélération moyenne
et accélération instantanée.
Le vecteur accélération moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesses à des
instants t1 et t2

Cinématique Image042
Le vecteur accélération instantanée correspond à la dérivée du vecteur vitesse
par rapport au temps

Cinématique Image043 ou Cinématique Image044
Les remarques sur la vitesse concernant la base et le référentiel sont aussi
valables pour l’accélération
En coordonnées cartésiennes (base fixe) le mouvement du point
M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur accélération :

Cinématique Image045 ou Cinématique Image046
En coordonnées cylindriques (base mobile) le mouvement du point
M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :

Cinématique Image047 ou Cinématique Image048
démonstration :

Cinématique Image049

Cinématique Image050

Cinématique Image051

On a: Cinématique Image026 donc Cinématique Image027 et Cinématique Image052 donc Cinématique Image053 etCinématique Image028

soit Cinématique Image054

Cinématique Image055

Cinématique Image056
ou Cinématique Image057



On notera les points suivants :
● L’unité légale de l’accélération est le mètre par seconde
au carré m.s-2
● La direction et le sens du vecteur accélération par rapport
à sa trajectoire n’est pas aisément exprimable sans l’utilisation des coordonnées
intrinsèques (paragraphe suivant)
● Comme pour tout vecteur la norme de l’accélération correspond
à la racine carrée de la somme du carré des composantes de ce vecteur.

Cinématique Image058
Cinématique Image059

● L’aire d’un arc de cercle d’angle q vaut Cinématique Image060et sa dérivée par rapport au temps qui
vaut Cinématique Image061 s’appelle
la vitesse aréolaire. Si le mouvement est tel que l’accélération orthoradiale
est nulle alors Cinématique Image062 et
Cinématique Image063est une
constante donc le mouvement s’effectue à vitesse aréolaire constante. Cela correspond
aux mouvements planétaires.

2.2.4 Coordonnées intrinsèques. Composantes de Frenet.

On peut aussi exprimer la vitesse et l’accélération à partir d’une base mobile
Cinématique Image064défini à
partir des vecteurs :
Cinématique Image065 : Vecteur tangent à la trajectoire
au point M, dans le sens du mouvement
Cinématique Image066 : Vecteur normal à la trajectoire
dont la droite d’action passe par le centre de courbure Ω de la
trajectoire en ce point
Cinématique Image067 : Vecteur binormal défini
à partir des deux précédents par Cinématique Image068
Cinématique Image069
On appelle plan osculateur ∏, le plan Cinématique Image070 :
Localement on confond la trajectoire avec le cercle osculateur.
On défini une abscisse curviligne s sur le cercle osculateur qui vérifie
Cinématique Image071 soit encore
Cinématique Image072
Cinématique Image073
La vitesse s’exprime par :

Cinématique Image074
et l’accélération s’en déduit :

Cinématique Image075
On a déjà vu que Cinématique Image026et de même Cinématique Image076donc Cinématique Image077
Mais Cinématique Image078 n’est pas une grandeur accessible, alors
que Cinématique Image079l’est,
on écrit donc :

Cinématique Image080 soit Cinématique Image081
d’où l’expression :

Cinématique Image082

2.2.5 Etude de mouvements

2.2.5.1 Types de mouvements

Dans le référentiel considéré.
La trajectoire peut être :

- rectiligne : - la trajectoire est une droite,
- le rayon de courbure est infini
et la composante normale de l’accélération est nulle.

- circulaire : - la trajectoire est un cercle,
- la trajectoire est donc plane,
- le rayon de courbure est constant.

- curviligne : - la trajectoire est une courbe.

- hélicoïdale : - la trajectoire est une hélice.
Le mouvement peut être :

- uniforme : - la valeur algébrique de la
vitesse est constante,
- le vecteur vitesse n’est pas forcément
constant,
- seule la composante tangentielle
de l’accélération est nulle.

- uniformément varié : - la valeur algébrique de l’accélération
tangentielle est constante.

- accéléré : - la valeur algébrique de
la vitesse augmente,
- la composante tangentielle de l’accélération
est dans le sens du mouvement.

- ralenti : - la valeur algébrique de
la vitesse diminue,
- la composante tangentielle de l’accélération
est dans le sens contraire du mouvement.

- sinusoïdal : - une composante de position
dépend sinusoïdalement du temps.
Le mouvement d’un solide peut être :

- de translation : - le vecteur vitesse est identique
en tout point du solide.

- de rotation : - la trajectoire de chaque
point du solide est circulaire.

Par exemple la nacelle d’une grande roue
a au démarrage un mouvement de translation circulaire uniformément varié

2.2.5.2 Traiter un exercice de cinématique

Le but est généralement d’exprimer les équations horaires du mouvement pour
remonter éventuellement vers l’équation de la trajectoire.
● Lorsque la nature de la trajectoire est donnée,
il faut en déduire les conditions sur les caractéristiques exprimées dans une
base adaptée.

Exemple du mouvement circulaire sinusoïdal

La trajectoire est circulaire on choisit
la base cylindrique.

La trajectoire est plane donc la coordonnée
z est nulle

La trajectoire est un cercle donc le rayon
est une constante (ce n’est pas lui qui dépend sinusoïdalement du temps)

Donc on peut déjà écrire en notant r le rayon
du cercle : Cinématique Image083

On remarque que la base mobile choisie ne
permet pas de faire apparaître le caractère sinusoïdal du mouvement

On en déduit l’expression de la vitesse :

Cinématique Image084

puis l’expression de l’accélération :

Cinématique Image085

Le caractère sinusoïdal apparaît dans l’expression
de j : Cinématique Image086 où ω désigne
la pulsation et j0 l’inclinaison
initiale.


Lorsque l’application des lois de la dynamique nous
fournis les coordonnées de l’accélération, alors il faut remonter par intégration
aux caractéristiques de vitesse puis de position. Les constantes d’intégration
seront déterminées par les conditions initiales du mouvement.

Cinématique Image087
● Pour les applications numériques, il faut penser avant
tout calcul à se placer dans le système d’unités internationales (U.S.I.).

2.2.6 Quantités, résultantes et moments.

Avant de passer à l’étude des causes du mouvement qu’est la dynamique on va
définir les grandeurs qui nous seront utiles par la suite.

Point

Système
de point

Quantité
de mouvement

Cinématique Image088

Résultante
cinétique

Cinématique Image089

Moment
cinétique

Cinématique Image090

Moment
cinétique résultant

Cinématique Image091

Quantité
daccélération

Cinématique Image092

Résultante
dynamique

Cinématique Image093

Moment
dynamique

Cinématique Image094

Moment
dynamique résultant

Cinématique Image095
On va distinguer dans l’appellation des grandeurs physiquement identiques selon
que l’on étudie un point ou un système de point.
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MessageSujet: Re: Cinématique   Cinématique Icon_minitimeMar 10 Mai - 23:40

merci
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MessageSujet: Re: Cinématique   Cinématique Icon_minitimeLun 21 Jan - 20:46

mercii biien :)
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MessageSujet: Re: Cinématique   Cinématique Icon_minitime

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